Transformación lineal

Cómo los vectores se transforman sin romper la estructura

Una transformación lineal es una función que toma vectores de un espacio y los transforma en otro (o el mismo), preservando la estructura lineal: suma y multiplicación por escalares.

👉 Es el concepto matemático detrás de capas neuronales, proyecciones, rotaciones y escalados.

Definición corta

Una transformación lineal es una función que preserva suma y multiplicación escalar.

Definición detallada

Una función $T: V \rightarrow W$ T:V→W es lineal si: $T(u + v) = T(u) + T(v)$ $T(\alpha v) = \alpha T(v)$

👉 Estas dos propiedades definen completamente la linealidad.

Intuición

La transformación lineal responde:

👉 “¿Cómo puedo transformar vectores sin romper su estructura?”

Ejemplo

Escalar vectores
Rotar vectores
Proyectar vectores

Entrada → transformación → salida  
pero mantiene relaciones lineales

Representación matricial

Toda transformación lineal puede representarse como: $T(x) = Ax$ T(x)=Ax

👉 Donde:

$A$ A = matriz
$x$ x = vector

Relación con otros conceptos

Matriz
Espacio vectorial
Base
Subespacio

📊 Propiedades clave

🔹 Preserva el origen

$T(0) = 0$

🔹 Preserva líneas y planos

👉 estructuras lineales se mantienen

🔹 Determinada por una matriz

👉 completamente definida por $A$ A

Tipos de transformaciones

🔹 Escalado

$T(x) = 2x$

🔹 Rotación

Cambia dirección, no magnitud.

🔹 Proyección

Reduce dimensión.

🔹 Reflexión

Invierte dirección.

🧠 Transformaciones en redes neuronales

🔹 1. Capas densas

$y = Wx + b$ y=Wx+b

👉 $Wx$ Wx es transformación lineal.

🔹 2. Embeddings

Transforman datos a nuevos espacios.

🔹 3. Proyección de características

Reduce o cambia dimensión.

🔹 4. Atención (Transformers)

Matrices:

👉 transforman queries, keys, values

Ejemplo paso a paso

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $x = [1, 2]$

$T(x) = [2, 2]$

👉 Escalado en eje X.

Núcleo (kernel) e imagen

🔹 Kernel

$\text{ker}(T) = \{x : T(x)=0\}$

🔹 Imagen

$\text{Im}(T) = \{Ax\}$ Im(T)={Ax}

👉 Define cómo transforma el espacio.

Ejemplo conceptual

Espacio original  
↓  
Transformación  
↓  
Espacio transformado

Ejemplo en Python

			
import numpy as np
A = np.array([
    [2, 0],
    [0, 1]
])
x = np.array([1, 2])
y = A @ x
print("Resultado:", y)

		

Ejemplo en PyTorch

			
import torch
A = torch.tensor([
    [2.0, 0.0],
    [0.0, 1.0]
])
x = torch.tensor([1.0, 2.0])
y = A @ x
print("Resultado:", y)

		

Ejemplo con capa neuronal

			
import torch
import torch.nn as nn
layer = nn.Linear(2, 2)
x = torch.tensor([[1.0, 2.0]])
y = layer(x)
print("Salida:", y)

		

Ejemplo de proyección

			
import numpy as np
A = np.array([
    [1, 0],
    [0, 0]
])
x = np.array([3, 4])
y = A @ x
print("Proyección:", y)

		

Qué muestra este ejemplo

Transformación mediante matrices
Base de redes neuronales
Cambios de espacio

Errores comunes

Confundir con funciones no lineales

Ej: ReLU no es lineal.

Olvidar el término bias

$b$ b rompe linealidad → es transformación afín.

Pensar que todas las transformaciones son reversibles

No siempre.

📊 Ejemplo conceptual en ML

Entrada → W*x → activación  
↓  
Aprendizaje de representaciones

Interpretación profunda

Las transformaciones lineales permiten:

cambiar representaciones
proyectar datos
aprender estructuras
construir modelos

👉 Son el núcleo matemático de las redes neuronales.

Conclusión

La transformación lineal es el mecanismo fundamental mediante el cual los modelos de machine learning transforman datos. Es la base de capas neuronales, proyecciones y representaciones.

👉 Entender transformaciones lineales es entender cómo aprenden los modelos.

Related Concepts

Matriz
Espacio vectorial
Base
Subespacio
PCA