Lexicon Redes Neuronales

Un espacio dentro de otro espacio vectorial

Un subespacio es un conjunto de vectores que forma un espacio vectorial dentro de otro espacio vectorial más grande. Es fundamental en álgebra lineal y aparece constantemente en machine learning, especialmente en PCA, SVD y reducción de dimensionalidad.

👉 En términos simples:
un subespacio es una “parte estructurada” de un espacio mayor

Definición corta

Un subespacio es un subconjunto de un espacio vectorial que también cumple las propiedades de un espacio vectorial.

Definición detallada

Un conjunto $S$S es un subespacio de $V$V si:

1. Contiene el vector cero
2. Es cerrado bajo suma
3. Es cerrado bajo multiplicación escalar

$$u, v \in S \Rightarrow u + v \in S$$$$\alpha v \in S$$

Intuición

El subespacio responde:

👉 “¿Qué estructuras más simples existen dentro de este espacio?”

Ejemplo

En $\mathbb{R}^3$R3:

• una línea que pasa por el origen → subespacio
• un plano que pasa por el origen → subespacio

Espacio 3D  
↓  
Plano → subespacio  
↓  
Línea → subespacio

Interpretación geométrica

👉 Siempre incluye el origen.

Relación con otros conceptos

• Espacio vectorial
• Base
• Dimensionalidad
• Rango

Propiedades clave

🔹 Contiene el vector cero

$$0 \in S$$

🔹 Cerrado bajo suma

$$u + v \in S$$

🔹 Cerrado bajo escalares

$$\alpha v \in S$$

Subespacios en redes neuronales

🔹 1. PCA

Componentes principales:

👉 definen un subespacio de menor dimensión

🔹 2. SVD

Descompone datos en:

👉 subespacios ortogonales

🔹 3. Embeddings

Datos viven en:

👉 subespacios de alta dimensión

🔹 4. Representaciones latentes

Autoencoders:

👉 aprenden subespacios compactos

Ejemplo paso a paso

$$S = \{(x, y, 0)\}$$S={(x,y,0)}

👉 Es un plano en 3D.

Cumple:

• contiene (0,0,0)
• cerrado bajo suma
• cerrado bajo escalares

Subespacio generado

Dado un conjunto de vectores:$$\{v_1, v_2\}$$

El subespacio generado es:$$\text{span}(v_1, v_2)$$

👉 Todas las combinaciones lineales.

Ejemplo conceptual

v1 = [1,0,0]  
v2 = [0,1,0]  → plano XY (subespacio)

Ejemplo en Python

import numpy as np
v1 = np.array([1, 0, 0])
v2 = np.array([0, 1, 0])
# combinación lineal
a, b = 2, 3
result = a * v1 + b * v2
print("Vector en subespacio:", result)

Ejemplo en PyTorch

import torch
v1 = torch.tensor([1.0, 0.0, 0.0])
v2 = torch.tensor([0.0, 1.0, 0.0])
a, b = 2.0, 3.0
result = a * v1 + b * v2
print("Resultado:", result)

Ejemplo con span

import numpy as np
basis = np.array([
    [1, 0, 0],
    [0, 1, 0]
])
coeffs = np.array([2, 3])
result = coeffs @ basis
print("Vector generado:", result)

Qué muestra este ejemplo

• Generación de subespacios
• Combinaciones lineales
• Representaciones estructuradas

Errores comunes

Olvidar el origen

Un subespacio siempre lo incluye.

Confundir con subconjunto cualquiera

Debe cumplir propiedades algebraicas.

No verificar cierre

Es esencial.

Ejemplo conceptual en ML

Datos de alta dimensión  
↓  
PCA → subespacio de menor dimensión

Interpretación profunda

Los subespacios permiten:

• estructurar datos
• reducir dimensionalidad
• representar información esencial
• entender geometría del aprendizaje

👉 Son la base de cómo los modelos organizan el conocimiento.

Conclusión

Un subespacio es una estructura fundamental dentro de un espacio vectorial que permite representar datos de forma eficiente y organizada. Es clave en técnicas como PCA, SVD y aprendizaje profundo.

👉 Entender subespacios es entender cómo los modelos simplifican y estructuran la información.

Related Concepts

• Espacio vectorial
• Base
• Dimensionalidad
• Rango
• PCA