Sensibilidad

Cómo medir el impacto de cada variable en una función o modelo

La sensibilidad describe cuánto cambia la salida de una función cuando cambia una entrada. Es una forma de cuantificar la influencia de cada variable en un sistema.

👉 En machine learning, la sensibilidad permite entender qué variables importan más y cómo afectan al modelo.

Definición corta

La sensibilidad mide cuánto cambia la salida de una función respecto a cambios en sus entradas.

Definición detallada

Para una función $f(x)$ f(x), la sensibilidad respecto a $x$ x es: $\frac{df}{dx}$

Para funciones multivariables: $\frac{\partial f}{\partial x_i}$

👉 Es directamente una derivada (o derivada parcial).

Intuición

La sensibilidad responde:

👉 “Si cambio esta variable, ¿cuánto cambia el resultado?”

Entrada cambia ligeramente  
↓  
Salida cambia  
↓  
Sensibilidad mide ese cambio

Interpretación geométrica

alta sensibilidad → pendiente grande
baja sensibilidad → pendiente pequeña

👉 Está relacionada con la inclinación de la función.

Ejemplo simple

$f(x) = x^2$

$f'(x) = 2x$

👉 En $x = 10$ x=10: sensibilidad = 20 (alta)
👉 En $x = 1$ x=1: sensibilidad = 2 (baja)

🔄 Relación con otros conceptos

Derivada
Derivada parcial
Gradiente
Jacobiano

🧠 Sensibilidad en múltiples variables

$f(x, y) = x^2 + y^2$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y$

👉 Cada variable tiene su propia sensibilidad.

📊 Ejemplo conceptual

Variable A → gran impacto  
Variable B → poco impacto

Sensibilidad en machine learning

🔹 1. Interpretabilidad

Permite identificar:

variables importantes
features relevantes

🔹 2. Gradiente

El gradiente es:

👉 un vector de sensibilidades

🔹 3. Backpropagation

Calcula sensibilidades:

👉 de cada peso

🔹 4. Robustez

Modelos con alta sensibilidad:

👉 pueden ser inestables

🔹 5. Adversarial attacks

Pequeños cambios → grandes efectos

👉 alta sensibilidad local.

Ejemplo conceptual

Pequeño cambio en input  
↓  
Gran cambio en output  
→ alta sensibilidad

📊 Ejemplo paso a paso

$f(x, y) = x^2 + 3xy$ f(x,y)=x2+3xy

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$ ∂x∂f=2x+3y $\frac{\partial f}{\partial y} = 3x$ ∂y∂f=3x

👉 sensibilidad depende de ambas variables.

Sensibilidad relativa

A veces se usa: $\text{sensibilidad relativa} = \frac{x}{f(x)} \cdot \frac{df}{dx}$ sensibilidad relativa=f(x)x⋅dxdf

👉 mide impacto proporcional.

Ejemplo en Python

			
import numpy as np
def f(x):
    return x**2
def sensitivity(x, h=1e-5):
    return (f(x + h) - f(x)) / h
print("Sensibilidad:", sensitivity(2))

		

Ejemplo en PyTorch

			
import torch
x = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)
y = x**2
y.backward()
print("Sensibilidad:", x.grad)

		

Ejemplo multivariable

			
import torch
x = torch.tensor([2.0, 3.0], requires_grad=True)
y = x[0]**2 + x[1]**2
y.backward()
print("Sensibilidades:", x.grad)

		

Qué muestra este ejemplo

Relación con derivadas
Impacto de variables
Base de interpretabilidad

Errores comunes

Confundir sensibilidad con importancia global

Es local, depende del punto.

Ignorar escala de variables

Puede distorsionar resultados.

No considerar múltiples variables

Cada una tiene su impacto.

Ejemplo conceptual en ML

Entrada  
↓  
Modelo  
↓  
Gradiente  
↓  
Sensibilidad por variable

Interpretación profunda

La sensibilidad permite:

entender cómo responden los modelos
identificar variables clave
analizar estabilidad
detectar vulnerabilidades

👉 Es esencial para interpretar y mejorar modelos.

Conclusión

La sensibilidad mide el impacto de cada variable en la salida de una función. Es fundamental para el análisis, la interpretabilidad y la optimización en machine learning.

👉 Es la forma matemática de responder: “¿qué importa realmente?”