Base

El conjunto mínimo que genera todo un espacio

Una base es un conjunto de vectores que permite representar todos los vectores de un espacio mediante combinaciones lineales, sin redundancia.

👉 Es uno de los conceptos más importantes del álgebra lineal y fundamental en machine learning.

Definición corta

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial

Definición detallada

Un conjunto de vectores $\{v_1, v_2, …, v_n\}$ {v1,v2,…,vn} es una base si:

Son linealmente independientes
Generan todo el espacio

$\text{span}(v_1, …, v_n) = V$

👉 Esto implica que cualquier vector $x \in V$ x∈V puede escribirse como: $x = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + … + \alpha_n v_n$

Intuición

La base responde:

👉 “¿Cuál es el conjunto mínimo de vectores necesarios para construir todo el espacio?”

Ejemplo en 2D

$[1,0], [0,1]$

👉 Base estándar de $\mathbb{R}^2$ R2

Eje X → v1  
Eje Y → v2  
→ generan todo el plano

Interpretación

Sin redundancia
Cobertura total del espacio
Representación única

👉 Cada vector tiene coordenadas únicas en esa base.

Relación con otros conceptos

Subespacio
Dimensionalidad
Rango
Ortogonalidad

Propiedades clave

🔹 Independencia lineal

$\sum \alpha_i v_i = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0$

🔹 Generación del espacio

$\text{span}(v_i) = V$ span(vi)=V

🔹 Número de vectores

$\text{dim}(V) = \text{número de vectores en la base}$ dim(V)=nuˊmero de vectores en la base

Tipos de bases

🔹 Base estándar

Vectores unitarios: $e_1 = [1,0], e_2 = [0,1]$

🔹 Base ortogonal

Vectores perpendiculares.

🔹 Base ortonormal

Vectores:

ortogonales
norma = 1

Base en redes neuronales

🔹 1. Representación de datos

Los datos se expresan en una base:

👉 features

🔹 2. PCA

Genera:

👉 nueva base optimizada

🔹 3. Embeddings

Vectores en una base de alta dimensión.

🔹 4. SVD

Descompone datos en bases ortogonales.

Ejemplo paso a paso

$v_1 = [1,0], \quad v_2 = [0,1]$ $x = [3,4]$

$x = 3v_1 + 4v_2$

👉 Representación en la base.

Base vs dimensión

Concepto	Significado
Base	conjunto de vectores
Dimensión	tamaño de la base

👉 Están directamente relacionados.

Ejemplo conceptual

Datos → nueva base (PCA) → compresión

Ejemplo en Python

			
import numpy as np
v1 = np.array([1, 0])
v2 = np.array([0, 1])
# Vector a representar
x = np.array([3, 4])
# Coeficientes
coeffs = x
print("Representación:", coeffs)

		

Ejemplo con combinación lineal

			
import numpy as np
v1 = np.array([1, 0])
v2 = np.array([0, 1])
a, b = 3, 4
x = a * v1 + b * v2
print("Vector:", x)

		

Ejemplo en PyTorch

			
import torch
v1 = torch.tensor([1.0, 0.0])
v2 = torch.tensor([0.0, 1.0])
coeffs = torch.tensor([3.0, 4.0])
x = coeffs[0]*v1 + coeffs[1]*v2
print("Vector:", x)

		

Ejemplo con cambio de base

			
import numpy as np
# Nueva base
B = np.array([
    [1, 1],
    [1, -1]
])
x = np.array([2, 0])
coords = np.linalg.inv(B) @ x
print("Coordenadas en nueva base:", coords)

		

Qué muestra este ejemplo

Representación de vectores
Cambio de base
Relación con coordenadas

Errores comunes

Usar vectores dependientes

No forman base.

No cubrir el espacio completo

Debe generar todo el espacio.

Confundir base con conjunto cualquiera

Debe cumplir ambas condiciones.

Ejemplo conceptual en ML

Features originales  
↓  
PCA → nueva base  
↓  
Datos comprimidos

Interpretación profunda

Una base permite:

representar información sin redundancia
cambiar perspectivas del espacio
optimizar representaciones
simplificar cálculos

👉 Es el “lenguaje” en el que los datos se expresan.

Conclusión

Una base es el conjunto mínimo de vectores necesarios para representar todo un espacio. Es fundamental para entender cómo se estructuran los datos y cómo los modelos los transforman.

👉 Entender bases es entender cómo los modelos “ven” el mundo.